ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ಮಯದ ಸುತ್ತ

Spread the love
Share Button

ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸರಳವಾಗಿ ತಿಳಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯುವುದು ಸೂಕ್ತ ಎನಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 0, 1, 2, 3, 4, 5… ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಣಿ ಈಗ ಪ್ರತಿಬಾರಿ ಕೊನೆಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೂಡಿಸಿ ಸರಣಿ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89 ಹೀಗೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಇಟಲಿಯ ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಫೆಬೋನಾಕ್ಸಿ ಎಂಬಾತ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದ. ಆದರೆ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ೨ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲೇ ಪಿಂಗಳ ಇದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದನು. ಮುಂದೆ ನಾಟ್ಯಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರವೀಣ ಭರತಮುನಿಗಳೂ ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ ದಾಖಲೆಗಳಿವೆ. ಹೇಮಚಂದ್ರ ಆಚಾರ್‍ಯ ಎಂಬುವವರೂ ಇದನ್ನು ಮೊದಲೇ ಗುರುತಿಸಿದ್ದರು. ಹೀಗಾಗಿ ಭಾರತದಲ್ಲೇ (ಇದರ ಜನನವಾಗಿದ್ದರೂ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವ ಪ್ರಚಾರವಾಗಲೀ, ಪ್ರಚಲಿತ ದಾಖಲೆಗಳಾಗಲೀ ಜನರನ್ನು ತಲುಪದಿರುವುದು ನಿಜಕ್ಕೂ ದುರದೃಷ್ಟಕರ. ಹೇಗೂ ಈ ಸರಣಿ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಹಾಗೂ ಪ್ರಕೃತಿ ಇದನ್ನು ಬಹಳ ಮೊದಲೇ ಅರಿತು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿರುವುದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ.

ಇನ್ನೊಂದು ವಿಶೇಷವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಈ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಹಾಗೂ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಬರುವ ಶೇಷವು ಯಾವಾಗಲೂ 1.618 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ‘Golden Ratio’ ಅಥವಾ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ’ ಎಂದೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧ. ಮೊದಲಿಗೆ ಫಿಬೋನಾಕ್ಸ್ ಸರಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಶೇಕಡ 99.9 ಪ್ರಕೃತಿಯ ಹೂವುಗಳ ಎಸಳುಗಳು ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಸರಣಿಯನ್ನೇ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹೂವಿನ ಎಸಳುಗಳು 2, 3, 5, 8, 13 ಇರುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂರ್‍ಯಕಾಂತಿಯ ಹೂಗಳ ಬೀಜಗಳು ಕೂಡ ಈ ಸರಣಿಯಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಈ ಬೀಜಗಳು ಕೂಡ ‘Spiral’ ಅಂದರೆ ಸಿಂಬಿ ಸುತ್ತಿದಂತ, ನಾಗಮುರಿಗೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿರುವುದೂ ಕೂಡ ಫಿಬೋನಾಕ್ಸ್ ಸರಣಿಯ ಒಂದು ಪವಾಡವೇ ಆಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಟಸ್ ಗಿಡದಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ಮುಳ್ಳುಗಳ ಜೋಡಣೆ, ತೆಂಗಿನಮರದ ಎಲೆಗಳು ಬಿದ್ದಮೇಲೆ ಕಾಂಡದ ಸುತ್ತ ಕಾಡುವ ವಿನ್ಯಾಸದ ರೀತಿ, ಪೈನಾಪಲ್ ಹಣ್ಣಿನ ಸುತ್ತ ಕತ್ತಿ ಎಲೆಗಳ ಜೋಡಣೆ ಇವೆಲ್ಲ ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಸರಣಿಯನ್ನೇ ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ತರಹದ ದಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿನ್ಯಾಸ ಏಕೆಂದು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೂ ಇದು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಯಕ್ಷ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವುದು ನಿಜಕ್ಕೂ ವಿಸ್ಮಯ. ಆದರೆ ನಾವು ಇದಕ್ಕೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನೀಡಬಹುದೇನೋ. ಈ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಆಯ್ಕೆ ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ತನ್ನ ತಪ್ಪು, ಒಪ್ಪುಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ (Permutation and Combination) ‘ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಹಾಗೂ ಸಂಯುಕ್ತಕ್ರಿಯೆ’ ಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಈ ಘಟ್ಟಕೆ ಬಂದಿರಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಈ ತರಹದ ಏರ್ಪಾಡು ಪುಷ್ಟಗಳ ಪೂರ್ಣ ವಿಕಸನ ಹಾಗೂ ದ್ಯುತಿ ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆ (Photo synthesis) ಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರಬಹುದು ಹಾಗೂ ಪಿಫಲೋತ್ಪಾದನೆಗೆ ಸಹಕಾರಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಈ ಬೀಜಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ ಸಿಂಬಿಸುತ್ತಿರುವ ತರಹ ಇರುವುದರಿಂದ ಅವು ಒಣಗಿ ಒಂದೇ ಕಡೆ ಬೀಳದೆ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದು ಪ್ರಸಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮಾಡಿದಂತಿದೆ.

‘ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ’ ಅಥವ ‘ಗೋಲ್ಡನ್ ರೇಶಿಯೋ’ ವನ್ನು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ರಹಸ್ಯ ಎಂದೇ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕಾರಣ ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಹಾಗೂ ಅದರ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತ ಹೋದರೆ ನಮಗೆ ಒಂದು ಆಕೃತಿ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಿಂಬಿಯಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸ. ಇದನ್ನು ನಾವು ಬಸವನಹುಳು, ಸೂರ್‍ಯಕಾಂತಿ ಬೀಜದ ವಿನ್ಯಾಸ, ಎಲೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ, ಚಂಡಮಾರುತ, ಸುಳಿ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು. ಎಲೆಯಿಂದ ಎಲೆಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವೂ ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಈ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ’ ಮಾನವ ದೇಹದ ಕಿವಿ, ಮೂಗು, ಕೈಬೆರಳು, ಅಷ್ಟೇಕೆ ಡಿ.ಎನ್.ಎ. ಯಲ್ಲೂ ಕೂಡ ಅದರ ಛಾಪು ಕಾಣಬರುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವೆಂದರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಯತಾಕಾರವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಇವುಗಳ ಅನುಪಾತ 1.618 ಇದ್ದರೆ ಆ ಆಯತದ ಸೊಬಗೇ ಬೇರೆ. ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ನೋಡಿ. ಈ ಆಯತವನ್ನು ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಗಳು ಬಂಗಾರದ ಆಯತವೆಂದೇ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಮೋನಾಲಿಸಾಳ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಈ ಅನುಪಾತ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಲ್ಲೂ ಇರುವುದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಹಾಗೇ ಎಲೆಗಳ ಜೋಡಣೆ, ಪಿರಿಮಿಡ್ಡುಗಳ ರಚನೆ, ಬಹುಶಃ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿವಿಧ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲೂ ಈ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ’ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಮೃತ್ಯುಂಜಯ ಮಂತ್ರ ಹಾಗೂ ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಕ್ಷತ್ರಾಕಾರದ ಒಂದು ಮಂಡಲವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಮಂಡಲದ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲೂ ಈ ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ ಇದೆ ಎಂದರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಲ್ಲವೇ?

ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಫಿಬೋನಸ್ಕಿ ಸರಣಿ ಹಾಗೂ ಅದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ’ ವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಧಾನ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆ. ‘Spiral’ ಅಥವಾ ಸಿಂಬಿ ಸುತ್ತುವಿಕೆ ಒಂದು ಬಹಳ ವಿಸ್ಮಯಕಾರಕವಾದ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಇದನ್ನು ಚಂಡಮಾರುತದ ಸುಳಿ, ಸಮುದ್ರದ ಸುಳಿ, ರಾಕೆಟ್ ಉಡ್ಡಯನದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಪಥ, ಬಸವನಹುಳುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈ, ಸೂರ್‍ಯಕಾಂತಿ ಬೀಜದ ಜೋಡಣೆ, ಅನಾನಸ್, ಕ್ಯಾಕ್ಟಸ್ ಮುಂತಾದ ಸಸ್ಯಗಳಲ್ಲೂ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಕೃತಿಯ ವೈಚಿತ್ರ್ಯವೂ ಹೌದು. ಅದಕ್ಕೆ ವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣ ನೀಡಿದೆ ಅಷ್ಟೆ. ಈತರಹದ ಬೀಜದ ಜೋಡಣೆಯಿಂದ ಬೀಜಗಳು ಬೇರೆಡೆಗೆ ಚೆಲ್ಲಿ ಸಂತಾನಾಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಹಾಯಕವಾಗುತ್ತದೆ.

ಡೊಂಕುಡೊಂಕಾಗಿ ಪ್ರವಹಿಸುವ ನೀರು, ಗಾಳಿ, ಬೆಳಕು ಎಲ್ಲವೂ ಈ ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಫೋಟನ, ಸಿಡಿತ ಇತ್ಯಾದಿ ಪಕರಣಗಳೂ ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಚಾಚೂ ತಪ್ಪದೆ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ತುಂಬುವಿಕೆ (Packing) ಕಾರ್‍ಯದಲ್ಲೂ ಈ ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ ತನ್ನ ಪಾಲನ್ನು ತಪ್ಪದೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಯಾವುದೇ ಆಯತವನ್ನು ತಯಾರಿಸಿ. ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತದ ಆಯತವನ್ನೇ ನೀವು ಕೊನೆಗೆ ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೀರಿ. ಕವಲು ಅಥವಾ ಉಪಶಾಖೆ (Branching) ಸಸ್ಯ ಲೋಕದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧಿ . ಇದರಲ್ಲೂ ಈ ಅನುಪಾತದ ಛಾಪು ಇದೆ.

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಸ್ಯದ ಅಥವಾ ಗಿಡಮರಗಳ ಎಲೆಗಳ, ಕೊಂಬೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ’ ವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ಯಾವ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ವಿಗ್ರಹಗಳು, ಕಲಾಕೃತಿಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯ ಎಂದರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಲ್ಲವೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಪಿರಮಿಡ್ಡುಗಳ ಎತ್ತರಕ್ಕೂ ಬುಡದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿದೆ. ಬೇಲೂರು, ಹಳೇಬೀಡು ಸೇರಿ ಎಲ್ಲಾ ದೇವಾಲಯ ಕಲಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಈ ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಚಾಚೂ ತಪ್ಪದೆ ಪಾಲಿಸಿದೆ ಎನ್ನುವುದರಲ್ಲಿ ಯವ ಸಂದೇಹವೂ ಇಲ್ಲ. ಇದರಿಂದ ನಮ್ಮ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಗಳು, ಶಿಲ್ಪಿಗಳು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಅಪಾರ ಜ್ಞಾನ ಹೊಂದಿದ್ದರೆಂಬುದರಲ್ಲಿ ಯವ ಸಂಶಯವೂ ಇಲ್ಲ. ಅಷ್ಟೇಕೆ ನಮ್ಮ ತೋಳುಗಳ ಮೊಳಕೈ ಮೇಲಿನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವೂ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತವೇ ಅಂದರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಲ್ಲವೇ? ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಈ ಸರಣಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ರಚನೆಗಳಲ್ಲೂ ತನ್ನ ಕೈಚಳಕ ತೋರಿಸಿದೆ.
ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಸರಣಿ ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ’ ಒಂದು ಅದ್ಭುತವಾದ ಒಂದು ಶೋಧನೆ. ಪ್ರಕೃತಿ ಇದನ್ನು ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ತಾನೇ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಭಾರತ ದೇಶದ ಪುರಾತನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ಇದನ್ನು ಯಾಕೆ ಪ್ರಚುರಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿಗೂಢ ರಹಸ್ಯವೇ ಆಗಿದೆ. ನೀವು ಈ ‘ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತ’ ದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟು ಚಿಂತಿಸಿ, ಅದರ ಇತರ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಭೇದಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಿರಾ? ನೀವೇನಂತೀರಿ?

ಕೆ. ರಮೇಶ್ , ಮೈಸೂರು

24 Responses

  1. Geetha V. K. says:

    ಒಂದು ಒಳ್ಳೆಯ ಮಾಹಿತಿ. ತುಂಬಾ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರವಾಗಿದೆ

  2. ಕೆ. ರಮೇಶ್ says:

    ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಮೇಡಂ

  3. ನಾಗರತ್ನ ಬಿ. ಅರ್. says:

    ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿ ಕುತೂಹಲ ಮೂಡಿಸಿದ ಉತ್ತಮ ಮಾಹಿತಿ ಯುಳ್ಳ ಲೇಖನಕ್ಕಾಗಿ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಸಾರ್.

  4. ಮಹೇಶ್ವರಿ ಯು says:

    ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತುಂಬ ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಸೋಜಿಗದ ಮಡುಈ ನಮ್ಮ ಪ್ರಕೃತಿ. ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

  5. ನಯನ ಬಜಕೂಡ್ಲು says:

    ಅದ್ಭುತ ಮಾಹಿತಿ ಸರ್.

  6. ಕೆ. ರಮೇಶ್ says:

    ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಮೇಡಂ.

  7. ಕೆ. ರಮೇಶ್ says:

    ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

  8. Hema says:

    ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಾಹಿತಿ, ಚೆಂದದ ನಿರೂಪಣೆ. ಬರಹ ಇಷ್ಟವಾಯಿತು

  9. . ಶಂಕರಿ ಶರ್ಮ says:

    ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿ ನಿನ್ನೆಯಷ್ಟೇ ನನ್ನ ಗೆಳತಿ ಈ 1.6 ಅನುಪಾತದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಸಿದ್ದಳು. ಮಾನವ ಶರೀರದ ರಚನೆಯೂ ಈ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಅತ್ಯಂತ ಸುಂದರವಾಗಿರುವರು ಎನ್ನುವ ವಿಷಯವೂ ಬಂದಿತ್ತು. ಬಹಳ ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಲೇಖನ..ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಸರ್.

  10. ವಸಂತಿ says:

    ಒಳ್ಳೆಯ ಮಾಹಿತಿ ಕೊಡುವ ಲೇಖನ

  11. Vasanthi K says:

    ಒಳ್ಳೆಯ ಮಾಹಿತಿ

  12. R.S. Gajanana Pericharan says:

    ……ಬಹಳ ಮಹತ್ವವುಳ್ಳ ಲೇಖನ. ಮಾತೃಗರ್ಭದಲ್ಲಿನ ಗರ್ಭಸ್ಥ ಶಿಶು ಸಹ-universal fruction-ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ಥಿತಿ ಈ ತತ್ವದ ಆಧಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲೊ ಓದಿದ ನೆನಪು. ಲೇಖಕರಿಗೆ ಹೃತ್ಪೂರ್ವಕ ಧನ್ಯವಾದಗಳು.

  13. ನಿರ್ಮಲಜಿ.ವಿ says:

    ಫಿಬೋನಾಕ್ಸಿಯ ವಿಶೇಷತೆಯ ಬಗ್ಗೆ, ಬಂಗಾರದ ಅನುಪಾತದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲದಿನಗಳ ಹಿಂದೆ ಓದಿದ್ದೆ. ಬಹಳ ಕುತೂಹಲ ಮೂಡಿಸುವ ವಿಷಯ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಅಂಗಗಳ ಜೊತೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿ ಇದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸಗಪಂದನೆಗಳು ಬಂದರೆ ಚೆನ್ನ. ಅಭಿನಂದನೆಗಳು.

  14. ಸುಬ್ಬರಾವ್. ಕು.ನಾ says:

    ಬಹಳಮಂದಿಗೆ ತಿಳಿಯದ ವಿಷಯ ಗಳನ್ನು.ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದೀರಿ

  15. ಕೆ. ಎನ್. ಸುಬ್ಬರಾವ್ says:

    ಬಹಳ ಮಂದಿಗೆ ತಿಳಿಯದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದೀರಿ. ಅಭಿನಂದನೆಗಳು

Leave a Reply

 Click this button or press Ctrl+G to toggle between Kannada and English

Your email address will not be published.

Follow

Get every new post on this blog delivered to your Inbox.

Join other followers: